Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（－1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且点的坐标为.

【解析】

试题分析：(1)本题只要直接设出动点的坐标为，用表示出已知条件，即可求出所求轨迹方程；（2）此问题存在性问题，解决的方法是假设这个点存在，然后根据已知条件去求这个点，若能求出，则存在，若求不出，则不存在在．即设存在题设的点，其坐标为，然后求出的坐标，进而求出和，令＝，求．当然考虑到△PAB与△PMN有一对对顶角，也可这样求三角形的面积：，，由于，所以由＝，得，也即，这个式子可很快求出．

试题解析：（1）【解析】
因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为，

设点的坐标为由题意得  ，化简得：.

故动点的轨迹方程为：             4分

（2）解法一：设点P的坐标为，点M，N的坐标为，

则直线AP的方程为，直线BP的方程为，

令，得，．

于是的面积是，

又直线AB的方程为，，点P到直线AB的距离，

于是的面积

当＝时，，

又，∴，解得，

又，∴，

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时P点坐标为．

解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为

则.

因为,  所以，

所以  即，解得．

因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.              10分

考点：（1）直接法求轨迹方程；（2）解析几何综合问题.