Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点. 问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.

Answer

 (1)   (2)不能

【解析】

试题分析：(1)由抛物线的定义可得知,轨迹为抛物线, P（1，0）看作焦点,直线l：x=－1看作准线. 从而得出轨迹方程.

(2) 先得出直线的方程,代入圆的方程中可求出直线与圆的交点,再利用两点间距离公式列出方程组,最后验证.

试题解析：(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,     （2分）

所以曲线M的方程为,如上图.     （4分）

(2)由题意得,直线的方程为

    （6分）

由  消去,得

解得    （10分）

存在这样的C点，使得为以为两腰的等腰三角形，

设则

解得    （13分）

但是不符合（1），所以上面方程组无解，因此直线l上不存在点C使得是正三角形    （14分）

考点：抛物线的有关知识,两点间的距离公式.