Question

右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．

（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

Answer

(1)证明见试题解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证线面平行，一般根据线面平行的判定定理，在平面内找到一条与平行的直线即可.为此我们取中点D，证明// .（2）要求二面角的大小，一般是先作出二面角的平面角，通过求这个平面角来求出二面角．由于该几何体的三个侧面都是直角梯形，易计算得，，，从而，所以。那么二面角的平面角可以直接在平面内过点作，或者作平面，垂足为，连接，由三垂线定理知，就是所作平面角。

试题解析：（1）证明：作交于，连．

则．

因为是的中点，

所以．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，

则面．

（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

因为面，所以，则平面．

又因为，，．

所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因为，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

考点：（1）线面平行；（2）二面角.