Question

已知数列中，，设．

（Ⅰ）试写出数列的前三项；

（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅲ）设的前项和为，

求证：．

Answer

（Ⅰ），，；（Ⅱ）证明见试题解析，；（Ⅲ）证明见试题解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由递推公式求出，再利用可直接求出；（Ⅱ）要证数列是等比数列，可由数列的递推关系建立起与的关系.

，从而证得数列是等比数列. 然后选求出，由可求出；（Ⅲ）本题最好是能求出，但由数列的通项公式可知不可求，结合结论是不等式形式可以用放缩法使得和可求，如

，又

，即有（等号只在时取得），然后求和，即可证得结论.

试题解析：（Ⅰ）由，得，.

由，可得，，.              3分

（Ⅱ）证明：因，故

.           5分

显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即

.                                  7分

解得.                                            8分

（Ⅲ）因为 

,

所以    11分

又（当且仅当时取等号），

故             14分[来源

考点：（Ⅰ）数列的项；（Ⅱ）等比数列的定义；（Ⅲ）放缩法.