Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：AC⊥BC₁.

Answer

（1）证明见解析;（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC1，利用线面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1;（2）要证明AC⊥BC1,可以先证明直线AC⊥平面BCC1B1, 在DABC中，AC=3，BC=4，AB=5，∴AB2=AC2+BC2，故AC⊥BC,∵C1C⊥平面ABC，ACÌ平面ABC，∴AC⊥C1C,又∵C1CÌ平面BB1C1C，BCÌ平面BB1C1C，且C1C∩BC=C，∴AC⊥平面BB1C1C．

试题解析：（1）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点,

在△ABC1中，连接OD，

∵D，O分别为AB，BC1的中点，

∴OD为△ABC1的中位线，

∴OD∥AC1，

又∵AC1平面CDB1，OD⊂平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1;

（2）在DABC中，AC=3，BC=4，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，故AC⊥BC,

∵C1C⊥平面ABC，ACÌ平面ABC，

∴AC⊥C1C,          

又∵C1CÌ平面BB1C1C，BCÌ平面BB1C1C，且C1C∩BC=C，

∴AC⊥平面BB1C1C,

又∵BC1Ì平面BB1C1C，

∴AC⊥BC1.

考点：1.直线与平面平行的判定；2.异面直线垂直．