Question

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

Answer

(1)证明见解析;(2) ．

【解析】

试题分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）点到平面的距离是棱锥D-PCB顶点D到底面的高,求出棱锥的体积和底面三角形PCB的面积,可以求出点到平面的距离．

试题解析：(1)如图,连接，

由3AD=DB知，点D为AO的中点,

又∵AB为圆O的直径，

∴，

由知，，

∴为等边三角形,

故．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，

又平面，

∴，

由PDÌ平面PAB，AOÌ平面PAB，且，

得平面.

（2）由（1）可知，，

∴，

又，，，

∴为等腰三角形，则，

设点到平面的距离为，

由得，

，

解得．

考点：1.直线与平面垂直的判定；2.点到平面距离．