Question

设椭圆的左、右顶点分别为、，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）求动点C的轨迹E的方程；

（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且 ，求直线MN的方程.

Answer

（1）;(2) ;(3)或.

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆的方程,就要知道a,b,由点A知道a=,由离心率可求得c,由a2=b2+c2进而求出b=1;(2)求动点的轨迹方程,首先设，，利用用C点表示P点坐标, ,代入椭圆方程,从而得到动点C的轨迹;(3)直线MN被椭圆截得的弦长,直线MN斜率分两种情况,斜率存在和斜率不存在,斜率不存在是,直线MN方程为x=1, ,舍掉,斜率存在式,设直线MN的方程为，联立直线和椭圆方程,利用根与系数关系和可以求出k.

试题解析：（1）由题意可得，，，

∴，

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）设，，由题意得，即，

又，代入得，即,

即动点的轨迹的方程为．

（3） 若直线MN的斜率不存在，则方程为，所以,

∴直线MN的斜率存在，设为k，直线MN的方程为，

由，得,

∵，

∴,

设M ，则

∴，

即，

解得.

故直线MN的方程为或.

考点：1.椭圆;2.动点轨迹;3.求直线方程.