Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析;（2）.

【解析】

试题分析：（1）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC1，利用线面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1;（2）过C作CE⊥AB于E，连接C1E，证明∠CEC1为二面角C1-AB-C的平面角，从而可求二面角C1-AB-C的余弦值．

试题解析：（1）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点,

在△ABC1中，连接OD，

∵D，O分别为AB，BC1的中点，

∴OD为△ABC1的中位线，

∴OD∥AC1，

又∵AC1平面CDB1，OD⊂平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1;

（2）【解析】
过C作CE⊥AB于E，连接C1E,

∵CC1⊥底面ABC，

∴C1E⊥AB,

∴∠CEC1为二面角C1-AB-C的平面角,

在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，

∴CE=,

在Rt△CC1E中，tan∠C1EC=4: =,

∴cos∠C1EC=,

∴二面角C1-AB-C的余弦值为．

考点： 1.直线与平面平行的判定；2.二面角的平面角及求法．