Question

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

(1)证明见解析;(2)．

【解析】

试题分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）作出二面角的平面角，证明符合二面角的定义，再在三角形中求二面角的平面角,从而求出所求的二面角．

试题解析：(1)如图,连接，

由知，点为的中点，

又∵为圆的直径，

∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，

∴，

由得，平面，

又平面，

∴．

（2）方法1:（综合法）如图,过点作，垂足为，连接, 

由（1）知平面，

又∵平面，

∴，

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴，

∴为二面角的平面角．

由（Ⅰ）可知，，

∴，则，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值为．              

方法2:（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,

设，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，则

，即，令，则，，

∴，

设二面角的平面角的大小为，

则，

∴二面角的余弦值为．

考点：1.直线与平面垂直的判定；2.二面角的平面角及求法．