Question

设椭圆的左右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求动点C的轨迹E的方程；

（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）;(2) ;(3) 直线与圆相切,证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆的方程,就要知道a,b,由点A知道a=2,由离心率可求得c,由a2=b2+c2进而求出b=1;(2)求动点的轨迹方程,首先设，，利用用C点表示P点坐标, ,代入椭圆方程,从而得到动点C的轨迹;(3)直线与圆的位置关系有三种,相交,相切,相离,判断的方法是圆心到直线的距离与半径的关系,如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交dr；求出圆心到直线的距离后和半径进行比较,可得直线与圆的位置关系.

试题解析：（1）由题意可得，，

∴，

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）设，，由题意得，即，

又，代入得，即．

即动点的轨迹的方程为．

（3）设，点的坐标为，

∵三点共线，

∴，

而，，

则，

∴，

∴点的坐标为，点的坐标为，

∴直线的斜率为，

而，

∴，

∴，

∴直线的方程为，

化简得，

∴圆心到直线的距离，

∴直线与圆相切．

考点：1.椭圆;2.动点轨迹;3.直线与圆的位置关系.