Question

如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．

（1）若，求矩形ABCD面积；

（2）若，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer

（1）14   （2）

【解析】

试题分析：（1）当=1时，假设切线为y=kx+1,联立.令判别式为零可求得k及切点坐标.即可求出面积.（2）假设切点，对抛物线求导求出斜率写出切线方程，代入定点(0, )求出切点坐标（含）.写出面积的表达式.根据的范围求出S的最大值.本题是常见的直线与抛物线的关系的题型.设切点，联立方程找出关于切点的等式.通过对参数的分类求出相应的最大值.

试题解析：（1）时，  （详细过程见第（2）问）        6分

（2）设切点为，则,

因为，所以切线方程为, 即，

因为切线过点，所以，即，于是．

将代入得．

(若设切线方程为，代入抛物线方程后由得到切点坐标，亦予认可．)

所以，  所以矩形面积为，

．

所以当时，；当时，；

故当时，S有最大值为．             15分

考点：1.直线与抛物线的关系.2.特殊到一般的思维方式.3.导数求最值.