Question

已知函数 (为实常数) ．

（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；

（2）当时，讨论方程根的个数．

（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.

Answer

（1）.；（2）时，方程有2个相异的根. 或时，方程有1个根. 时，方程有0个根.（3）.

【解析】

试题分析：（1）通过求导数可得函数的单调性，在对比区间的两端点的函数值即可求得函数的最大值.（2）由于参数的变化.可以采取分离变量的方法，转化为两个函数的交点个数问题.其中一个是垂直于y轴的直线，另一个是通过求出函数的走向.根据图像即可得到结论.（3）将要说明的结论通过变形得到一个等价问题从而证明新的函数的单调性，使得问题巧妙地转化.本题只是容量大.通过研究函数的单调性，含参函数的讨论.与不等式的相结合转化为函数的单调性的证明.

试题解析：（1），当时，．当时，，又，

故，当时，取等号                 4分

（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数． 设=，

当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知：

当时，即时，方程有2个相异的根；

当 或时，方程有1个根；

当时，方程有0个根；              10分

（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于

即，故原题等价于函数在时是减函数，

恒成立，即在时恒成立．

在时是减函数      16分

（其他解法酌情给分）

考点：1.函数的最值问题.2.函数的单调性.3.函数与不等式的关系以及转化为函数的单调性的证明.