Question

已知圆，若焦点在轴上的椭圆 过点，且其长轴长等于圆的直径．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线与，与圆交于、两点， 交椭圆于另一点，设直线的斜率为，求弦长；

（3）求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，又因为椭圆过点，代入方程可求得，从而得到标准方程；（2）可设直线的方程为，根据点到直线的距离公式求出弦心距，再根据勾股定理可算出半弦长，从而得到弦长；（3）因为，故直线的方程为，和椭圆的方程联立方程组，从而求出的长，则三角形的面积为，利用基本不等式求出最大值．

试题解析：

（1）由题意得，，所以椭圆C的方程为．

（2）设，由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为，

又圆O：，故点O到直线的距离，

所以．

（3）因为，故直线的方程为，

由消去，整理得，

故，所以，

设的面积为S，则，

所以，

当且仅当时取等号．

考点：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，以及基本不等式的应用．