Question

设函数，．

（1）当时，函数取得极值，求的值；

（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最大值；

（3）当时，关于的方程有唯一实数解，求实数的值．

Answer

（1）；（2）时，取最大值；（3）．

【解析】

试题分析：（1）先求出，因为当时，函数取得极值，所以，从而求出；（2）根据判断函数在区间[1，2]上的单调性，从而判断出最大值点，求出最大值；（3）由题意可知，方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则函数图像与轴有且只有一个交点，根据导数判断函数的单调性，可知函数存在极小值即为最小值，最小值为，从中求出．

试题解析：

（1）的定义域为，所以．因为当时，函数取得极值，所以，所以．经检验，符合题意．

（2），令得，

因为，所以，即在[1，2]上单调递增，

所以时，取最大值．

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，则，

令，因为，，

所以（舍去），，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以当时，取最小值，则   即，

所以，因为，所以（*），设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程（*）的解为，

即，解得．

考点：本题考查了导数在研究函数中的应用，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．