Question

已知抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆过点.

（1）求椭圆方程；

（2）点、是椭圆的上下顶点，点为右顶点，记过点、、的圆为⊙，过点作⊙ 的切线，求直线的方程；

（3）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点、，试问直线是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

Answer

（1）；（2）或；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由题目给出的条件直接求解的值，则可求出椭圆方程；（2）当所求直线斜率不存在时，其方程为，符合题意；当直线斜率存在时，可设其斜率为，写出直线的点斜式方程，因为直线与圆相切，所以根据圆心到直线的距离等于圆的半径可直接求得直线的斜率，从而得到方程；（3）由题意可知，两直线的斜率都存在，设AP： ，代入椭圆的方程从而求出点的坐标，同理再求出点的坐标，从而可求出直线的方程，由方程可知当时，恒成立，所以直线恒过定点．

试题解析：

(1)，则c=2,  又，得

∴所求椭圆方程为 ．

(2)M,⊙M:，直线l斜率不存在时，，

直线l斜率存在时，设为，

∴，解得，

∴直线l为或 ．

（3）显然，两直线斜率存在, 设AP： ，

代入椭圆方程，得，解得点，

同理得，直线PQ：，

令x=0，得，∴直线PQ过定点．

考点：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．