Question

如图，在四面体中，，，点，分别是，的中点．

(1)EF∥平面ACD；

(2)求证：平面⊥平面；

(3)若平面⊥平面，且，求三棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由直线和平面平行的判定定理，只需在平面内找一条直线与平面外直线平行，由是的中位线，知∥；（2）由平面和平面垂直的判定定理，只需在一个平面内找另一个平面的垂线即可，由且是的中点，可得，又且∥，知，且=

，所以面，又面，从而平面⊥平面；（3）由已知面⊥平面，则在一个平面内垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面，由面平面=，且，所以面，∴，只需求的面积即可.

试题解析：（1）∵EF是△BAD的中位线，所以EF∥AD（2分），又EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD

∴EF∥平面ACD；

（2）∵EF∥AD，AD⊥BD，∴BD⊥EF，又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，又BD⊂面BDC，∴面EFC⊥面BCD；

（3）因为面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD，所以AD⊥面BCD，由BD=BC=1和CB=CD得△BCD是正三角形，所以.

考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定和性质定理；3、几何体的体积.