Question

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：

（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知得，又，则根据斜率的关系，且过点（2，0），可求，分别求直线与的交点的坐标，进而可求以为直径的圆的方程；（2）

设，由直线和的方程，分别求与的交点，得，利用勾股定理求以为直径的圆截轴的弦长为，长度为定值，故圆过定点.（1、该题还可以根据两直线的垂直关系设直线方程，斜率分别为和，方法如上；2、对于探索型和开放型题目，大胆的猜想和必要的论证是解决问题非常好的方法）.

试题解析：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为.

（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，∴，,将x=4代入，得,∴MN的中点坐标为（4，0），MN=,∴以MN为直径的圆的方程为,同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是；

（2）设点P的坐标为，∴（），∴，∵，将x=4代入，得，，∴，MN=，MN的中点坐标为，

以MN为直径的圆截x轴的线段长度为

为定值。∴⊙必过⊙O内定点.

考点：1、直线和圆的方程；2、直线被圆所截的弦长计算方法；3、直线和圆的位置关系.