Question

已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（为椭圆的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

（1）；（2）轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段．

【解析】

试题分析：（1）椭圆有四个（两对）顶点，短轴的两个顶点到焦点的距离相等，这里可见是长轴的两顶点，于是有，可求得，以及椭圆方程；（2）动点的运动是由点在椭圆上运动引起的，因此要求点的轨迹方程，我们采取动点转移法，借助于点，就是设点坐标为，动点的坐标为，想办法用表示，然后把代入点所在的椭圆的方程，即可得动点的轨迹方程，化简即可。

试题解析：（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得

{  解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为

（2Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故             ①

由点P在椭圆C上得  代入①式并化简得

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段．

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）动点转移法求轨迹方程，轨迹。