Question

已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

Answer

（1），；（2）。

【解析】

试题分析：（1）由于直线过原点，故直线方程是已知的，可直接求出两点的坐标，求出线段的长，及边上的高和面积；（2）设直线方程为，把方程与椭圆方程联立，消去，得出关于的二次方程，两点的横坐标就是这个方程的两解，故必须满足，而线段的长，线段的长等于平行线与间的距离，再利用勾股定理求出，这时一定是的函数，利用函数知识就可以求得结论。

试题解析：（1）因为，且过点，所以所在直线方程为。

设两点的坐标分别为，

由 得。

∴。

又因为边上的高等于原点到直线的距离，

所以。

（2）设直线的方程为，

由 得。

因为在椭圆上，所以。

设两点的坐标分别为，

则，

所以。

又因为的长等于点到直线的距离，即，

所以。

所以当时，边最长（这时），

此时所在直线方程为。

考点：直线和椭圆相交，弦长问题。