Question

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分别为、的中点.

(1)求二面角的余弦值;

(2)求点到平面的距离.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）本题中取中点，将会出现许多垂直，这正是我们解题时需要的结果，由于，则，由于平面平面，则平面，是正三角形，则，有了这些垂直后，就可以建立空间直角坐标系（以为原点，分别为轴），写出相应点的坐标，计算所需向量的坐标，设分别是二面角的两个面的法向量，则二面角的余弦值，就等于（或者其相反数，这要通过图形观察确定）；（2）设平面的法向量是，则点以平面的距离为．

试题解析：⑴取中点,连结､.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.  

如图所示建立空间直角坐标系,则,,,

∴.

∴．

设为平面的一个法向量，

则，

取，则，∴，

又为平面的一个法向量，

，即二面角的余弦值为．

(2)由⑴得,又为平面的一个法向量,,

∴点到平面的距离.

考点：（1）二面角；（2）点到平面的距离．