Question

已知函数在与时，都取得极值．

（1）求的值；

（2）若，求的单调区间和极值；

（3）若对都有恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1），当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）函数的极值点是使导数等于0的的值，因此本题中一定有和，由此可解出的值；（2）再由可求出，而求单调区间，很显然是解不等式（得增区间）或（得减区间），然后可得相应的极大值和极小值；（3）不等式恒成立，实际上就是当时的最大值小于，因此问题转化为先求在上的最大值，然后再解不等式即可．

试题解析：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．

由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．

－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2       3分

经检验得：这时与都是极值点．      …4分

（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．

∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．

∴f(x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．

当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；

当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－        …8分

（3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c，

 f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．

而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．

∴  f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴  ，∴ 

∴ 或∴  或   12分

考点：（1）导数与极值；（2）导数与单调区间；（3）不等式恒成立问题．