Question

已知函数，.

（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；

（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在，且的范围是．

【解析】

试题分析：（1）由于是多项式函数，故对最高次项系数分类，时它是一次函数，是增函数，不是减函数，当时，是二次函数，需要考虑对称轴和开口方向；（2）首先把方程化简，变为，设，即方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，转化为讨论函数的单调性及极值问题，如本题中，通过分析导函数，知在上是减函数，在上增函数，因此条件为解这个不等式组即得所求的取值范围．

试题解析：（1）当时，在是单调增函数，不符合题意；

当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，不符合题意；

当时，函数在上是单调减函数，则，解得．

综上，的取值范围是．  4分

（2）把方程整理为，

即为方程，  5分

设，原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，即为函数在区间内有且只有两个零点．  6分

，

令，∵，解得或（舍），

当时，，是减函数，

当时，，是增函数．  10分

在内有且只有两个不相等的零点，只需  11分

即 ∴

解得，所以的取值范围是．

考点：（1）单调减函数的判定；（2）方程根的个数的判定．