Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点，并求出该定点的坐标.

Answer

（Ⅰ）椭圆的标准方程为

（Ⅱ）直线l过定点，定点坐标为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为椭圆C上的点到焦点距离的最大值为，最小值为.在椭圆中，可求，再根据椭圆的标准方程为求得.

（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程得的一元二次方程，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），所以,故,可得的关系式，再由点斜式的直线方程写出直线l过定点，注意检验.

试题解析：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为

由已知得：

（Ⅱ）设，联立

得，则

又，

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），

当，直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当

所以，直线l过定点，定点坐标为

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、韦达定理；4、直线的点斜式方程；5、点与圆的位置关系.