Question

（本小题满分14分）如图，在四面体A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点.

（1）证明：平面ABC平面ADC；

（2）若ÐBDC=60°，求二面角C−BM−D的大小．

Answer

(1)见解析(2)

【解析】

试题分析：(1)证明面面垂直几何法就要证线面垂直,要证线面垂直就要证线线垂直;线线、线面、面面垂直之间相互转化. 由题意知从点出发的三条件直线两两垂直,从而,又在平面内,所以可证得平面ABC平面ADC.证明面面垂直向量法可证法向量垂直,由题意知从点出发的三条件直线两两垂直,可以建立空间直角坐标系.

(2)求二面角可用两种向量法(面向量和法向量)或几何法,面向量法即在两个半平面内分别从顶点出发与棱垂直的两个向量所成的角.几何法(三垂线法)重点是找到二面角的平面角,①在几何体内找第三个平面与二面角的两个半平都垂直,交线所成角即为平面角;如果找不到可以退而求其次,找第三个平面与二面角的其中一个半平垂直.②与另外一个半交于点,过点作交线的垂线③过点作棱的垂线④连所得到的为二面角的平面角⑤在直角三角形求角.用法向量法求二面角不容易判断所求出的是二面角还是其补角,所以尽量不用它.

试题解析：

（1） 

又      （4分）

又          （6分）

（2）作CG^BD于点G，作GH^BM于点HG，连接CH.    （8分）

又 

又

又

所以ÐCHG为二面角的平面角.       （10分）

在Rt△BCD中，

CD=BD=，CG=CD，BG=BC

在Rt△BDM中，HG==

在Rt△CHG中，tanÐCHG=

所以即二面角C-BM-D的大小为60°.      （14分）

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．