Question

已知圆A过点，且与圆B：关于直线对称.

(1)求圆A的方程；

(2)若HE、HF是圆A的两条切线，E、F是切点，求的最小值。

(3)过平面上一点向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值.

Answer

(1)  (2)  (3)

【解析】

试题分析：(1)求圆的方程即找到圆心和半径. 由圆的标准方程可看出圆B的圆心, 圆A 与圆B 关于直线对称可求出圆A的圆心.再由圆A 通过过点通过两点距离公式求出半径可求出圆A的标准方程.

(2) 求的最小值最好用一个变量来表示, 表示长度和夹角都与长度有关,所以设,则由切割弦定理得,在直角三角形中,则由二倍角公式可得,由数量积公式得,利用均值定理可求出最小值.

(3)切线长用到点距离和半径表示出来，再根据得到关于一个方程可知轨迹是一个圆，所以存在一个定点到的距离为定值.

试题解析：

（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得：解得,

设圆A的方程为，将点代入得r＝2

∴圆A的方程为：      （4分）

（2）设，，

则

当且仅当即时取等号，∴的最小值为    （9分）

（3）由（1）得圆A的方程为：，圆B：，由题设得，即，

∴化简得：

∴存在定点M()使得Q到M的距离为定值.    （14分）

考点：直线与圆的位置关系；圆关于点、直线对称的圆方程；圆的标准方程; 平面向量数量积的运算．