Question

已知点和圆：．

（Ⅰ）过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；

（Ⅱ）若的面积，且是圆内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数

的点称为整点），求出点的坐标．

Answer

（Ⅰ）方程为：或；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，不符合要求.因此可设直线的斜率为，根据点斜式写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）连结,求出圆与轴的两个交点.并连结,得到，因此要使，那么点必在经过点且与直线平行的直线上.结合点所在象限，可以求出为.

试题解析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，不符合要求；

因此设直线的斜率为，那么直线的方程为：.

所以圆心到直线的距离，又因为半径弦长为.

所以，解得：.

所以所求直线方程为：或；

（Ⅱ）连结，点满足,

过作直线的平行线．

∵

∴直线的方程分别为：

设点（且）

∴

解，得： 

∵且，在上对应的.

∴满足条件的点存在，共有2个，它们的坐标分别为：.

考点：直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直线方程.