Question

已知点和圆：．

（Ⅰ）过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；

（Ⅱ）试探究是否存在这样的点：是圆内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEM的面积？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）方程为：或；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，符合要求.此时直线方程为：；若斜率在时，可设直线的斜率为，根据点斜式写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）连结,求出圆与轴的两个交点.并连结,得到，因此要使，那么点必在经过点,且与直线平行的直线上.结合点所在象限，可以求出为.

试题解析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为，符合要求,此时；

若直线的斜率存在时，设直线的斜率为，那么直线的方程为：.

所以圆心到直线的距离，又因为半径弦长为.

所以，解得：.

所以所求直线方程为：或；

（Ⅱ）连结，点满足,

过，作直线的平行线．

∵

∴直线、的方程分别为：

、

设点 （且）

∴

分别解与，得 与

∵∴为偶数，在上对应的

在上，对应的

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．

考点：直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直线方程.