Question

已知圆，直线．

（1）判断直线与圆C的位置关系；

（2）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；

（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程．

Answer

（1）由题意可知，圆心C到直线的距离，所以直线与圆相交；（2）；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）相交；（2）当M与P不重合时，设，则，，从而得到的轨迹方程，当M与P重合时，也满足上式，故弦AB中点的轨迹方程是；（3）若定点P（1，1）分弦AB为，则设，得到一个关于的方程，联立直线和圆的方程，得到关于的一个一元二次方程，根据两根之后得到另一个关于的方程，两个方程联立解得，因为是一元二次方程的一个根，代入即可求出的值，从而求出直线的方程．

试题解析：

（1）圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离

∴直线与圆C相交；

（2）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，

∴

设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是．

（3）设，由得，

∴，化简的………①

又由消去得……（*）

∴   …………②

由①②解得，带入（*）式解得，

∴直线的方程为或．

考点：本题考查了直线与圆的位置关系的判断，动点的轨迹方程的求法，向量的坐标运算，体现了方程的思想方法．