Question

已知数列中，，，数列中，，且点在直线上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若，求数列的前项和.

Answer

(Ⅰ) ；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由已知可构造数列，并证明其为等比数列，先求出数列的通项公式，再求数列的通项公式（一般形如的递推关系，可先构造等比数列，其公比与常数，可由与所给等式进行比较求得）；（Ⅱ）将点代入直线方程，可得到数列中与的关系式，从而发现为等差数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅲ）由(Ⅰ) （Ⅱ）可得数列的通项公式，观察中各项关系，可用错位相减法来求出（错位相减法是求数列前项和的常用方法，它适用于如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应各项之积构成的）.

试题解析：(Ⅰ)由得

所以是首项为，公比为2的等比数列.

所以，故

（Ⅱ）因为在直线上，

所以即又

故数列是首项为1，公差为1的等差数列，

所以

（Ⅲ）== 故

所以

故

相减得

所以

考点：1.等比数列；2.等差数列；3.数列前项和求法.