Question

知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，直线l的方程为： 

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于、两点

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：为定值

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值为 

【解析】

试题分析：(1) 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形,可以看作是以长为底边，高为的等腰三角形，故面积为，从而可以列出等式，又由离心率得及，可解出，从而求出椭圆的方程 （2）直线和椭圆相交，其方程联立方程组，消去，可得关于的二次方程，利用韦达定理可得，这就是相交弦的中点的横坐标，从而求出，把用坐标表示出来，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可证明出定值

试题解析：（Ⅰ）因为满足，，      2分

，解得，，

则椭圆方程为       4分

（Ⅱ）（1）设，将代入并化简得

      6分

，

则是上述方程的解

，      7分

因为的中点的横坐标为，所以，解得    9分

（2）由（1），，

，为定值

考点：（Ⅰ）椭圆的标准方程与几何性质；（Ⅱ）直线与椭圆的位置关系问题