Question

已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.

Answer

(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 2，

【解析】

试题分析：(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知，在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值，即可得椭圆的标准方程.

 (Ⅱ) 由于，所以直线都过F点，从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况，和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子，类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况，求出最大值与最小值.

试题解析：（Ⅰ）由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为，过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于A,B两点则，又，所以，又，联立求得，，故椭圆方程为.

（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，

即直线经过椭圆焦点。又知，

（i）当斜率为零或不存在时，

（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为

所以：直线方程为：。直线方程为:

将直线方程代入椭圆方程，消去并化简整理可得

，

设坐标为，则，…………①

从而，将①代入化简得

，

将中换成可得,

所以=.

令，因为，所以，故，所以，当且仅当时，.综上（i）（ii）可知，即四边形PQMN的最大面积为2，最小面积为.

考点：1.待定系数法求椭圆得方程.2.分类归纳的思想.3.弦长公式.4.对角线垂直的四边形的面积.5.基本不等式的应用.