Question

已知坐标平面内：，：.动点P与外切与内切.

（1）求动圆心P的轨迹的方程;

（2）若过D点的斜率为2的直线与曲线交于两点A、B,求AB的长;

（3）过D的动直线与曲线交于A、B两点，线段中点为M，求M的轨迹方程.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）由圆的内切与外切的圆心距与圆的半径的关系，根据椭圆的定义可求出椭圆的方程.

（2）由过点D的直线及斜率可写出该直线方程.再联立椭圆方程即可得通过弦长公式即可求得AB弦的长度.

（3）有点差法可得到一个关于中点坐标和斜率的关系的等式，同时再利用斜率的另一种表示形式，就如中点与点D再得到斜率的一个等式，消去相应的k从而可得一个关于中点x,y的一个等式.即为所求的中点的轨迹方程.

试题解析：(1)依题意可得，当令动圆半径为r时，有，易得.由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以C（-1,0）、D（1,0）为焦点的椭圆.令椭圆方程为.所以点P的轨迹方程为.

（2）过点D斜率为2的直线方程为：由，消去y得到.所以.

 (3)据点差法结果可知

 若令M坐标为（x,y）,则有 ，化简可得：

考点：1.椭圆的定义.2.椭圆的中的弦长公式.3.点差法的应用.4.方程的思想.5.数学中常见的算两次的思想.