Question

已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且L与的两个焦点A和B满足（其中O为原点），求的取值范围。

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）有椭圆方程中读出其长轴长，焦距长，根据题意得出双曲线的长轴长，和焦距长，即可求出双曲线方程。（2）因为直线l与两曲线均有两个不同交点，故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根，即判别式均大于0，再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式，三个不等式取交集。

试题解析：（1）设双曲线的方程为，由椭圆的方程知，其长轴长为4，焦距长为，则由题意知双曲线中，，所以，故的方程为。

（2）将代入，整理得，由直线与椭圆恒有两个不同的交点得即，

将代入，整理得，由直线与双曲线恒有两个不同的交点得，解得。

解此不等式得

        ③

由①、②、③得

故k的取值范围为

考点：圆锥曲线方程基础知识，直线与圆锥曲线的位置关系，向量数量积公式