Question

设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．

Answer

2y2－x2＝1(x2<3)．

【解析】

试题分析：将直线与双曲线方程联立，消去y（或x），得到关于x的一元二次方程。由题意知方程有两根，故二次项系数不为0，且判别式大于0，解出a的范围，即所求轨迹方程的定义域。根据韦达定理得到两根之和，两根之积（整体计算比计算出两个根要简单）。根据且以AB为直径的圆过原点，可得直线AO和直线BO垂直，可利用斜率之积等于列式计算，但这种情况需对斜率存在与否进行讨论。为了省去讨论的麻烦可用向量问题来解决。详见解析。

试题解析：【解析】
联立直线与双曲线方程得，消去y得：(a2－3)x2＋2abx＋b2＋1＝0.

∵直线与双曲线交于A、B两点，∴⇒a2<3.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝，x1·x2＝.

由⊥得x1x2＋y1y2＝0，又y1·y2＝(ax1＋b)(ax2＋b)＝a2x1x2＋ab(x1＋x2)＋b2，

∴有＋a2·－＋b2＝0.

化简得：a2－2b2＝－1.故P点(a，b)的轨迹方程为2y2－x2＝1(x2<3)．

考点：直接法求轨迹方程