Question

已知函数的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为的保值区间.

（Ⅰ）求函数形如的保值区间；

（Ⅱ）函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）或.（Ⅱ）不存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为时值域为。所以要使为保值区间，则。根据保值区间的定义可得，解方程即可得。（Ⅱ）将去绝对值改写为分段函数，讨论其单调性。同时讨论与单调区间的关系。根据保值区间的定义列方程计算。

试题解析：解（Ⅰ），又在是增函数，. . .

函数形如的保值区间有或.      2分

（Ⅱ）假设存在实数a，b使得函数，有形如的保值区间，则.              4分

当实数 时，在上为减函数，故，

即   =b与＜b矛盾.

故此情况不存在满足条件的实数a，b.       5分

（2）当实数时，在为增函数，故 

即得方程在上有两个不等的实根，而，

即无实根.

故此情况不存在满足条件的实数a，b.       6分

（3）当，，，而，.

故此情况不存在满足条件的实数a，b.                 7分

综上所述，不存在实数使得函数，有形如的保值区间.   8分

考点：对新概念的理解和运用，考查对所学知识的综合运用及分析能力和解决问题的能力。