Question

已知函数的定义域为，且的图象连续不间断. 若函数满足：对于给定的（且），存在，使得，则称具有性质.

（Ⅰ）已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）已知函数 若具有性质，求的最大值；

（Ⅲ）若函数的定义域为，且的图象连续不间断，又满足，

求证：对任意且，函数具有性质.

Answer

（Ⅰ）具有该性质,证明见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的（且），

存在，使得，按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设，令

,解得,满足定义,故具有性质P(3);（Ⅱ）m在0到1之间,取一半,看是

否具有性质P(),如果有,再判断是否有大于的m,没有的话,最大值就是;（Ⅲ）构造函数

，则,……=

-,相加,有,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.

试题解析：（Ⅰ）设，即

令,  则

解得,

所以函数具有性质

（Ⅱ）m的最大值为.

首先当时，取,

则，,

所以函数具有性质,

假设存在，使得函数具有性质, 

则,

当时，，，,

当时，，，,

所以不存在，使得,

故的最大值为.

（Ⅲ）任取,

设，其中,

则有

,

,

……

,

……

,

以上各式相加得：,

当中有一个为时，不妨设为，

即,

则函数具有性质,

当均不为时，由于其和为，则必然存在正数和负数，

不妨设 其中，,

由于是连续的，所以当时，至少存在一个,

（当时，至少存在一个）,

使得，

即,

故函数具有性质.

考点：1.抽象函数的定义;2.创新问题情境;3.构造函数.