Question

定义在上的函数当时，，且对任意的有。

（1）求证：，

（2）求证：对任意的，恒有；

（3）若，求的取值范围。

Answer

(1)见解析(2) 见解析(3)

【解析】

试题分析：解抽象函数问题多用赋值法,找出其单调性奇偶性来解决不等问题.

（Ⅰ）令，且时，,可求；

（Ⅱ）令，易求，由已知时，，当时，，，,从而可证结论；

（Ⅲ）任取，依题意，可证

，从而可证是上的增函数,再根据单调性来解不等式．

试题解析：

(1)证明: 令，得,

又因为时，所以

(2) 令，得

即

因为当时，，

所以当时，，，

又因为

所以对任意的，恒有

(3) 任取，依题意，可得

因为,所以,所以

又因为对任意的，恒有

所以即

所以是上的增函数

由

可得其解集:

考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题,二次不等式．