Question

已知函数，若函数为奇函数，求的值．

（2）若，有唯一实数解，求的取值范围．

（3）若，则是否存在实数,使得函数的定义域和值域都为。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）不存在实数、满足题意．

【解析】

试题分析：（1）由是定义在上的奇函数，可知，从中求出的值；（2）将原不等式化简，最后可将问题转化为方程在上有唯一解，令，则

从而求出的取值范围；（3）由函数在上是增函数，可得到在上是增函数，假设存在,使得函数的定义域和值域都为,则,而这两个等式都无解，所以不存在满足题意．

试题解析：

（1）为奇函数   

（2）

令，则问题转化为方程在上有唯一解．

令，则

（3）不存在实数、满足题意，

在上是增函数在上是增函数

假设存在实数、满足题意，有

式左边，右边，故式无解．

同理式无解．

故不存在实数、满足题意．

考点：本题考查了函数的奇偶性，单调性以及函数的定义域和值域之间的关系，同时也考查了函数和方程的数学思想，是一道综合题，难度适中．