Question

已知函数是偶函数。

（1）求的值；

（2）设函数，其中实数。若函数与的图象有且只有一个交点，求实数的取值范围。

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据偶函数定义可得到关于k的方程，根据对应系数相等可解出k的值。（2）由题意分析可知将函数与的图象有且只有一个交点的问题 为方程只有一个根的问题。将整理变形并结合换元法可转化为，在上只有一个解的问题。因为此二次函数对称轴是变量，属于动轴定区间问题。分情况讨论，详见解析。

试题解析：解:（1）∵ 由题有对恒成立 …2分

即恒成立，整理得，所以∴

（2）由函数的定义域得，  由于

所以      即定义域为

∵函数与的图象有且只有一个交点，即方程

在上只有一解。

即：方程在上只有一解

令，则，上式可变形为，在上只有一个解。

当时，舍。

当时，记，其图像的对称轴为，所以在上单调递减，而。所以方程在上无解。

当时，记，其图象的对称轴

所以只需，即，此恒成立

∴此时的范围为

综上所述，所求的取值范围为

考点：奇偶性，数形结合思想，二次函数的动轴定区间问题