Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y²＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1) ∪   (2)不存在，理由见解析

【解析】【解析】
(1)由已知条件知直线l的方程为

y＝kx＋，

代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.

整理得x2＋2kx＋1＝0.①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，

解得k<－或k>，

即k的取值范围为∪.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，

由方程①得x1＋x2＝－.②

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，

所以＋与共线等价于x1＋x2＝－ (y1＋y2)．

将②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.