Question

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b₁＝a₁，b_n＝a_n＋a_n－1，n≥2，n∈N^*，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”．

(1)若数列{a_n}的通项为a_n＝n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；

(2)若数列{c_n}的通项为c_n＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{c_n}的“生成数列”{q_n}是否是等差数列，请说明理由；

(3)已知数列{d_n}的通项为d_n＝2ⁿ＋n，求数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和T_n.

Answer

(1) bn＝2n－1(n∈N*)

(2) 当b＝0时，{qn}是等差数列；

当b≠0时，{qn}不是等差数列．

(3) pn＝，Tn＝3·2n＋n2－4

【解析】【解析】
(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，

当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，

∴bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)qn＝

当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列．

当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，所以数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．

综上，当b＝0时，{qn}是等差数列；

当b≠0时，{qn}不是等差数列．

(3)pn＝

当n>1时，Tn＝3＋(3·2＋3)＋ (3·22＋5)＋…＋(3·2n－1＋2n－1)，

∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.

又n＝1时，T1＝3，适合上式，

∴Tn＝3·2n＋n2－4.