Question

如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A­BD­C为60°，如图(2)．

(1)求证：AE⊥平面BDC；

(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．

Answer

(1)见解析   (2)

【解析】【解析】
(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，

则AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.

由余弦定理知

AE＝＝.

∵AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.

∵AB＝AD，F为BD中点．∴BD⊥AF.

又BD＝2，DC＝1，BC＝，

∴BD2＋DC2＝BC2，

即BD⊥CD.

又E为BC中点，EF∥CD，∴BD⊥EF.

又EF∩AF＝F，

∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，

∵BD∩EF＝F，

∴AE⊥平面BDC.

(2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，

C，

B，

D，＝(2,0,0)，

＝，＝.

设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，

由得

取z＝，

则y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．

∴cos〈n，〉＝＝－.

故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为.