Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB＝.

(1)求证：PO⊥平面ABCE；

(2)求二面角E­AP­B的余弦值．

Answer

(1)见解析   (2)

【解析】【解析】
(1)证明：由已知得AB＝3，AD＝6，

∴BD＝9.

在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，

∴Rt△AOD∽Rt△BAD，

∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.

在△POB中，PB＝，PO＝4，BO＝5，

∴PO2＋BO2＝PB2，

∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，

∴PO⊥平面ABCE.

(2)∵BO＝5，

∴AO＝＝2.

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，

A(2，0,0)，B(0,5,0)，

＝(2，0，－4)，＝(0,5，－4)．

设n1＝(x，y，z)为平面APB的法向量．

则即

取x＝2得n1＝(2，4,5)．

又n2＝(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，

故二面角E­AP­B的余弦值为.