Question

如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.

(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；

(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

Answer

(1)见解析   (2)

【解析】【解析】
(1)证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，

∴平面BCE∥平面ADF.

设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C.

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，

平面DFC∩平面ADF＝DF.

∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.

(2)∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，

∴FA⊥平面ABCD.

故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，

∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．

设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒不妨设z＝1.

则n＝(2，－1,1)，不妨设平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)．

∴cos〈m，n〉＝＝＝，

由于二面角F­CD­A为锐角，

∴二面角F­CD­A的余弦值为.