Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝4a_n－3(n∈N^*)．

(1)证明：数列{a_n}是等比数列；

(2)若数列{b_n}满足b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，且b₁＝2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

(1)见解析  (2) bn＝3×n－1－1(n∈N*)．

【解析】【解析】
(1)证明：由Sn＝4an－3可知，

当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.

因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，

所以当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，

整理得an＝an－1，又a1＝1≠0，

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．

(2)由(1)知an＝n－1，

由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，

得bn＋1－bn＝n－1.

可得bn＝b1＋(b2－b1)＋ (b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)

＝2＋＝3×n－1－1(n≥2，n∈N*)．

当n＝1时上式也满足条件．

所以数列{bn}的通项公式为

bn＝3×n－1－1(n∈N*)．