Question

各项均为正数的数列{a_n}满足a_n²＝4S_n－2a_n－1(n∈N^*)，其中S_n为{a_n}的前n项和．

(1)求a₁，a₂的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2a_n＋2，m)与向量b＝(－a_n＋5,3＋a_n)垂直？说明理由．

Answer

(1) a1＝1  a2＝3  (2) an＝2n－1   (3)见解析

【解析】【解析】
(1)当n＝1时，

A12＝4S1－2a1－1＝2a2－1，

即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.

当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，

解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．

(2)an2＝4Sn－2an－1，①

An+12＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

②－①得：a n+12－an2＝4an＋1－2an＋1＋2an

＝2(an＋1＋an)，

即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．

∵数列{an}各项均为正数，

∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，

∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．

∴an＝2n－1.

(3)∵an＝2n－1，

∴a＝(2an＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－an＋5,3＋an)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，

∴a⊥b⇔a·b＝0

⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]

⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7

⇔m＝4(n＋1)＋16＋.

∵m，n∈N*，

∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，

即n＝6，m＝45.

∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.