Question

已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切.

(1)求圆的标准方程；

(2)设点A为圆上一动点，AN轴于N，若动点Q满足（其中m为非零常数），试求动点的轨迹方程.

(3)在（2）的结论下，当时，得到动点Q的轨迹曲线C，与垂直的直线与曲线C交于 B、D两点，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)求圆的方程，已经已知圆心坐标，只要再求得圆的半径即可，而圆心的半径等于圆心到切线的距离；（2）本题动点可以看作是由动点的运动成生成的，因此可以用动点转移法求点的轨迹方程，具体方法就是设，，利用条件，求出与的关系，并且用来表示，然后把代入（1）中圆的方程，就能求得动点为的轨迹方程；（3）时，曲线的方程为，直线与垂直，其方程可设为，这条直线与曲线相交，由此可求得的取值范围，而的面积应该表示为的函数，然后利用函数的知识或不等式的知识求得最值.

试题解析：(1)设圆的半径为,圆心到直线距离为，则

所以，圆的方程为

（2）设动点,,轴于,

由题意,，所以 即: ，

将代入,得动点的轨迹方程.

（3）时,曲线方程为，设直线的方程为

设直线与椭圆交点

联立方程得

因为，解得，且

又因为点到直线的距离 

 .（当且仅当即

时取到最大值）面积的最大值为.

考点：（1）圆的方程；（2）动点转移法求轨迹方程；（3）直线与椭圆相交，面积的最值问题.