Question

已知数列的前n项的和为，且，

（1）证明数列是等比数列

（2）求通项与前n项的和；

（3）设若集合M=恰有4个元素，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2），；（3）.

【解析】

试题分析：（1）可以根据等比数列的定义证明，用后项比前项，即证是常数，这由已知易得，同时要说明；（2）由（1）是公比为的等比数列，因此它的通项公式可很快求得，即，从而，这个数列可以看作是一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此其前项和可用错位相减法求出；（3）这里我们首先要求出，由（2）可得，集合M=恰有4个元素，即中只有4个不同的值不小于，故要研究数列中元素的大小，可从单调性考虑，作差，可见，，再计算后发现，因此应该满足．

试题解析：（1）因为，当时，.

又，（）为常数，

所以是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由是以为首项，为公比的等比数列得，

所以.

由错项相减得.

（3）因为，所以

由于

所以，，.

因为集合恰有4个元素，且，

所以.

考点：（1）等比数列的定义；（2）错位相减法求和；（3）数列的单调性．