Question

已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），

求证：.

Answer

(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．

【解析】

试题分析：(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，

，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理

，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，

，得证．

试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，

该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为。          4分

（2）的定义域为，          5分

定义域关于原点对称，又， ，所以函数为奇函数。          6分

下面讨论在上函数的增减性.

任取、，设，令，则，，所以

因为，，，所以.         7分

又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.          8分

又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.         9分

（3） ；         10分

因为，，所以，。   11分

 设，时，则 ，    12分

且，    13分

 由二项式定理，         14分

所以，

从而。         18分

考点：(1)方程有解与函数的值域；(2)函数奇偶性与单调性；(3)放缩法证明不等式．