Question

已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．圆的方程是．

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；

Answer

(1) ；(2)．

【解析】

试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在中，，，，通过直角三角形的关系就可求得；(2)由(1)知双曲线的渐近线为，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点作该双曲线两条渐近线的垂线，为锐角，这样这题我们只要认真计算，设点坐标为，由点到直线距离公式求出距离，利用两条直线夹角公式求出，从而得到向量的数量积．

试题解析：（1）设的坐标分别为

    因为点在双曲线上，所以，即，所以 

在中，，，所以            3分

由双曲线的定义可知：

     故双曲线的方程为：                    6分

（2）由条件可知：两条渐近线分别为         8分

设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则

则点到两条渐近线的距离分别为 ，  11分

因为在双曲线：上，所以 ，

又

所以         14分

考点：(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积件．